다음을 풀어보세요: {l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-3x+15y=59$$

수식의 양쪽에서 15y을(를) 뺍니다.

$$-3x=-15y+59$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

-\frac{1}{3}에 -15y+59을(를) 곱합니다.

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

다른 수식 3x+4y=17에서 5y-\frac{59}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

3에 5y-\frac{59}{3}을(를) 곱합니다.

$$15y-59+4y=17$$

15y을(를) 4y에 추가합니다.

$$19y-59=17$$

수식의 양쪽에 59을(를) 더합니다.

$$19y=76$$

양쪽을 19(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

x=5y-\frac{59}{3}에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

5에 4을(를) 곱합니다.

$$x=20-\frac{59}{3}$$

-\frac{59}{3}을(를) 20에 추가합니다.

$$x=\frac{1}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

-3x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱합니다.

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

단순화합니다.

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -9x+45y=177에서 -9x-12y=-51을(를) 뺍니다.

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

-9x을(를) 9x에 추가합니다. -9x 및 9x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$45y+12y=177+51$$

45y을(를) 12y에 추가합니다.

$$57y=177+51$$

177을(를) 51에 추가합니다.

$$57y=228$$

양쪽을 57(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

3x+4y=17에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+4\times 4=17$$

4에 4을(를) 곱합니다.

$$3x+16=17$$

수식의 양쪽에서 16을(를) 뺍니다.

$$3x=1$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$