다음을 풀어보세요: {l}{-2x-2y=4}{y=-x/5+2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 2 y = 4 } \\ { y = - \frac { x } { 5 } + 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-5$$

$$y=3$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 \frac{x}{5}을(를) 더합니다.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

수식의 양쪽 모두에 5을(를) 곱합니다.

$$5y+x=10$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-2x-2y=4$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$-2x=2y+4$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(2y+4\right)$$

-\frac{1}{2}에 4+2y을(를) 곱합니다.

$$x=-y-2$$

다른 수식 x+5y=10에서 -y-2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-y-2+5y=10$$

-y을(를) 5y에 추가합니다.

$$4y-2=10$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$4y=12$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

x=-y-2에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-3-2$$

-2을(를) -3에 추가합니다.

$$x=-5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-5,y=3$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 \frac{x}{5}을(를) 더합니다.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

수식의 양쪽 모두에 5을(를) 곱합니다.

$$5y+x=10$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-2\times 5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-2\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{2}{-2\times 5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\times 4-\frac{1}{4}\times 10\\\frac{1}{8}\times 4+\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-5,y=3$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 \frac{x}{5}을(를) 더합니다.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

수식의 양쪽 모두에 5을(를) 곱합니다.

$$5y+x=10$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

-2x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱합니다.

$$-2x-2y=4,-2x-2\times 5y=-2\times 10$$

단순화합니다.

$$-2x-2y=4,-2x-10y=-20$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2x-2y=4에서 -2x-10y=-20을(를) 뺍니다.

$$-2x+2x-2y+10y=4+20$$

-2x을(를) 2x에 추가합니다. -2x 및 2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y+10y=4+20$$

-2y을(를) 10y에 추가합니다.

$$8y=4+20$$

4을(를) 20에 추가합니다.

$$8y=24$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

x+5y=10에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+5\times 3=10$$

5에 3을(를) 곱합니다.

$$x+15=10$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$x=-5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-5,y=3$$