다음을 풀어보세요: {l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-2x+7y=4$$

수식의 양쪽에서 7y을(를) 뺍니다.

$$-2x=-7y+4$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

-\frac{1}{2}에 -7y+4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

다른 수식 -4x+3y=2에서 \frac{7y}{2}-2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

-4에 \frac{7y}{2}-2을(를) 곱합니다.

$$-14y+8+3y=2$$

-14y을(를) 3y에 추가합니다.

$$-11y+8=2$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$-11y=-6$$

양쪽을 -11(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{6}{11}$$

x=\frac{7}{2}y-2에서 y을(를) \frac{6}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{7}{2}에 \frac{6}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{21}{11}-2$$

-2을(를) \frac{21}{11}에 추가합니다.

$$x=-\frac{1}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

-2x 및 -4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱합니다.

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

단순화합니다.

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x-28y=-16에서 8x-6y=-4을(를) 뺍니다.

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-28y+6y=-16+4$$

-28y을(를) 6y에 추가합니다.

$$-22y=-16+4$$

-16을(를) 4에 추가합니다.

$$-22y=-12$$

양쪽을 -22(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{6}{11}$$

-4x+3y=2에서 y을(를) \frac{6}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

3에 \frac{6}{11}을(를) 곱합니다.

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

수식의 양쪽에서 \frac{18}{11}을(를) 뺍니다.

$$-4x=\frac{4}{11}$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$