다음을 풀어보세요: {l}{-2x+3y=13}{6x-5y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 13 } \\ { 6 x - 5 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=7$$

$$y=9$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-2x+3y=13$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$-2x=-3y+13$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

-\frac{1}{2}에 -3y+13을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}$$

다른 수식 6x-5y=-3에서 \frac{3y-13}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}\right)-5y=-3$$

6에 \frac{3y-13}{2}을(를) 곱합니다.

$$9y-39-5y=-3$$

9y을(를) -5y에 추가합니다.

$$4y-39=-3$$

수식의 양쪽에 39을(를) 더합니다.

$$4y=36$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=9$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}에서 y을(를) 9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{2}\times 9-\frac{13}{2}$$

\frac{3}{2}에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{27-13}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{13}{2}을(를) \frac{27}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=9$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{2}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 13+\frac{3}{8}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\times 13+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=7,y=9$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

-2x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱합니다.

$$6\left(-2\right)x+6\times 3y=6\times 13,-2\times 6x-2\left(-5\right)y=-2\left(-3\right)$$

단순화합니다.

$$-12x+18y=78,-12x+10y=6$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -12x+18y=78에서 -12x+10y=6을(를) 뺍니다.

$$-12x+12x+18y-10y=78-6$$

-12x을(를) 12x에 추가합니다. -12x 및 12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$18y-10y=78-6$$

18y을(를) -10y에 추가합니다.

$$8y=78-6$$

78을(를) -6에 추가합니다.

$$8y=72$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=9$$

6x-5y=-3에서 y을(를) 9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x-5\times 9=-3$$

-5에 9을(를) 곱합니다.

$$6x-45=-3$$

수식의 양쪽에 45을(를) 더합니다.

$$6x=42$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=9$$