다음을 풀어보세요: {l}{-2x+3y=1}{3x+-4y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 1 } \\ { 3 x + - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-2x+3y=1$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$-2x=-3y+1$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

-\frac{1}{2}에 -3y+1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

다른 수식 3x-4y=-1에서 \frac{3y-1}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)-4y=-1$$

3에 \frac{3y-1}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{9}{2}y-\frac{3}{2}-4y=-1$$

\frac{9y}{2}을(를) -4y에 추가합니다.

$$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=-1$$

수식의 양쪽에 \frac{3}{2}을(를) 더합니다.

$$\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$$

양쪽에 2을(를) 곱합니다.

$$y=1$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{2}을(를) \frac{3}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{-2\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\left(-1\right)\\3+2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

-2x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱합니다.

$$3\left(-2\right)x+3\times 3y=3,-2\times 3x-2\left(-4\right)y=-2\left(-1\right)$$

단순화합니다.

$$-6x+9y=3,-6x+8y=2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -6x+9y=3에서 -6x+8y=2을(를) 뺍니다.

$$-6x+6x+9y-8y=3-2$$

-6x을(를) 6x에 추가합니다. -6x 및 6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$9y-8y=3-2$$

9y을(를) -8y에 추가합니다.

$$y=3-2$$

3을(를) -2에 추가합니다.

$$y=1$$

3x-4y=-1에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x-4=-1$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$3x=3$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=1$$