다음을 풀어보세요: {l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

A, B에 대한 해

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 A을(를) 고립시켜 A에 대한 해를 찾습니다.

$$-15A+3B=21$$

수식의 양쪽에서 3B을(를) 뺍니다.

$$-15A=-3B+21$$

양쪽을 -15(으)로 나눕니다.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

-\frac{1}{15}에 -3B+21을(를) 곱합니다.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

다른 수식 -3A-15B=-14에서 \frac{-7+B}{5}을(를) A(으)로 치환합니다.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

-3에 \frac{-7+B}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

-\frac{3B}{5}을(를) -15B에 추가합니다.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

수식의 양쪽에서 \frac{21}{5}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{78}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$B=\frac{7}{6}$$

A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}에서 B을(를) \frac{7}{6}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 A에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{1}{5}에 \frac{7}{6}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{7}{5}을(를) \frac{7}{30}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$A=-\frac{7}{6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 A 및 B을(를) 추출합니다.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

-15A 및 -3A을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -15을(를) 곱합니다.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

단순화합니다.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 45A-9B=-63에서 45A+225B=210을(를) 뺍니다.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

45A을(를) -45A에 추가합니다. 45A 및 -45A이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-9B-225B=-63-210$$

-9B을(를) -225B에 추가합니다.

$$-234B=-63-210$$

-63을(를) -210에 추가합니다.

$$-234B=-273$$

양쪽을 -234(으)로 나눕니다.

$$B=\frac{7}{6}$$

-3A-15B=-14에서 B을(를) \frac{7}{6}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 A에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

-15에 \frac{7}{6}을(를) 곱합니다.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

수식의 양쪽에 \frac{35}{2}을(를) 더합니다.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$A=-\frac{7}{6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$