다음을 풀어보세요: {l}{-12x-5y=40}{12x-11y=88}

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=0$$

$$y=-8$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-12x-5y=40$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$-12x=5y+40$$

양쪽을 -12(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

-\frac{1}{12}에 40+5y을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}$$

다른 수식 12x-11y=88에서 -\frac{5y}{12}-\frac{10}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$12\left(-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

12에 -\frac{5y}{12}-\frac{10}{3}을(를) 곱합니다.

$$-5y-40-11y=88$$

-5y을(를) -11y에 추가합니다.

$$-16y-40=88$$

수식의 양쪽에 40을(를) 더합니다.

$$-16y=128$$

양쪽을 -16(으)로 나눕니다.

$$y=-8$$

x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}에서 y을(를) -8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{12}\left(-8\right)-\frac{10}{3}$$

-\frac{5}{12}에 -8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{10-10}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{10}{3}을(를) \frac{10}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=-8$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}&\frac{5}{192}\\-\frac{1}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}\times 40+\frac{5}{192}\times 88\\-\frac{1}{16}\times 40-\frac{1}{16}\times 88\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=0,y=-8$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

-12x 및 12x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 12을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -12을(를) 곱합니다.

$$12\left(-12\right)x+12\left(-5\right)y=12\times 40,-12\times 12x-12\left(-11\right)y=-12\times 88$$

단순화합니다.

$$-144x-60y=480,-144x+132y=-1056$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -144x-60y=480에서 -144x+132y=-1056을(를) 뺍니다.

$$-144x+144x-60y-132y=480+1056$$

-144x을(를) 144x에 추가합니다. -144x 및 144x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-60y-132y=480+1056$$

-60y을(를) -132y에 추가합니다.

$$-192y=480+1056$$

480을(를) 1056에 추가합니다.

$$-192y=1536$$

양쪽을 -192(으)로 나눕니다.

$$y=-8$$

12x-11y=88에서 y을(를) -8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

-11에 -8을(를) 곱합니다.

$$12x+88=88$$

수식의 양쪽에서 88을(를) 뺍니다.

$$12x=0$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=-8$$