다음을 풀어보세요: {l}{-10x-7y=-5}{7x+5y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 7 y = - 5 } \\ { 7 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-3$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-10x-7y=-5$$

수식의 양쪽에 7y을(를) 더합니다.

$$-10x=7y-5$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{10}\left(7y-5\right)$$

-\frac{1}{10}에 7y-5을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}$$

다른 수식 7x+5y=4에서 -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}\right)+5y=4$$

7에 -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{49}{10}y+\frac{7}{2}+5y=4$$

-\frac{49y}{10}을(를) 5y에 추가합니다.

$$\frac{1}{10}y+\frac{7}{2}=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{10}y=\frac{1}{2}$$

양쪽에 10을(를) 곱합니다.

$$y=5$$

x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{7}{10}\times 5+\frac{1}{2}$$

-\frac{7}{10}에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{2}을(를) -\frac{7}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-5\right)-7\times 4\\7\left(-5\right)+10\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-3,y=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

-10x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -10을(를) 곱합니다.

$$7\left(-10\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-5\right),-10\times 7x-10\times 5y=-10\times 4$$

단순화합니다.

$$-70x-49y=-35,-70x-50y=-40$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -70x-49y=-35에서 -70x-50y=-40을(를) 뺍니다.

$$-70x+70x-49y+50y=-35+40$$

-70x을(를) 70x에 추가합니다. -70x 및 70x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-49y+50y=-35+40$$

-49y을(를) 50y에 추가합니다.

$$y=-35+40$$

-35을(를) 40에 추가합니다.

$$y=5$$

7x+5y=4에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x+5\times 5=4$$

5에 5을(를) 곱합니다.

$$7x+25=4$$

수식의 양쪽에서 25을(를) 뺍니다.

$$7x=-21$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=5$$