다음을 풀어보세요: {l}{-10x-6y=12}{4x+7y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 6 y = 12 } \\ { 4 x + 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=0$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-10x-6y=12$$

수식의 양쪽에 6y을(를) 더합니다.

$$-10x=6y+12$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{10}\left(6y+12\right)$$

-\frac{1}{10}에 12+6y을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}$$

다른 수식 4x+7y=-14에서 \frac{-3y-6}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}\right)+7y=-14$$

4에 \frac{-3y-6}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{24}{5}+7y=-14$$

-\frac{12y}{5}을(를) 7y에 추가합니다.

$$\frac{23}{5}y-\frac{24}{5}=-14$$

수식의 양쪽에 \frac{24}{5}을(를) 더합니다.

$$\frac{23}{5}y=-\frac{46}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{23}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-2$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-2\right)-\frac{6}{5}$$

-\frac{3}{5}에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{6-6}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{6}{5}을(를) \frac{6}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{10}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}&-\frac{3}{23}\\\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}\times 12-\frac{3}{23}\left(-14\right)\\\frac{2}{23}\times 12+\frac{5}{23}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=0,y=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

-10x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -10을(를) 곱합니다.

$$4\left(-10\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 12,-10\times 4x-10\times 7y=-10\left(-14\right)$$

단순화합니다.

$$-40x-24y=48,-40x-70y=140$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -40x-24y=48에서 -40x-70y=140을(를) 뺍니다.

$$-40x+40x-24y+70y=48-140$$

-40x을(를) 40x에 추가합니다. -40x 및 40x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-24y+70y=48-140$$

-24y을(를) 70y에 추가합니다.

$$46y=48-140$$

48을(를) -140에 추가합니다.

$$46y=-92$$

양쪽을 46(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

4x+7y=-14에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+7\left(-2\right)=-14$$

7에 -2을(를) 곱합니다.

$$4x-14=-14$$

수식의 양쪽에 14을(를) 더합니다.

$$4x=0$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=-2$$