다음을 풀어보세요: {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=25$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-10x+20y=460$$

수식의 양쪽에서 20y을(를) 뺍니다.

$$-10x=-20y+460$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

-\frac{1}{10}에 -20y+460을(를) 곱합니다.

$$x=2y-46$$

다른 수식 30x+60y=1620에서 -46+2y을(를) x(으)로 치환합니다.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

30에 -46+2y을(를) 곱합니다.

$$60y-1380+60y=1620$$

60y을(를) 60y에 추가합니다.

$$120y-1380=1620$$

수식의 양쪽에 1380을(를) 더합니다.

$$120y=3000$$

양쪽을 120(으)로 나눕니다.

$$y=25$$

x=2y-46에서 y을(를) 25(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=2\times 25-46$$

2에 25을(를) 곱합니다.

$$x=50-46$$

-46을(를) 50에 추가합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=25$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=25$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

-10x 및 30x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 30을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -10을(를) 곱합니다.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

단순화합니다.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -300x+600y=13800에서 -300x-600y=-16200을(를) 뺍니다.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

-300x을(를) 300x에 추가합니다. -300x 및 300x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$600y+600y=13800+16200$$

600y을(를) 600y에 추가합니다.

$$1200y=13800+16200$$

13800을(를) 16200에 추가합니다.

$$1200y=30000$$

양쪽을 1200(으)로 나눕니다.

$$y=25$$

30x+60y=1620에서 y을(를) 25(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$30x+60\times 25=1620$$

60에 25을(를) 곱합니다.

$$30x+1500=1620$$

수식의 양쪽에서 1500을(를) 뺍니다.

$$30x=120$$

양쪽을 30(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=25$$