다음을 풀어보세요: {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

A, B에 대한 해

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 A+B에 3(을)를 곱합니다.

$$3A+3B-B=6$$

3B과(와) -B을(를) 결합하여 2B(을)를 구합니다.

$$3A+2B=6$$

두 번째 수식을 검토합니다. 3의 2제곱을 계산하여 9을(를) 구합니다.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

분배 법칙을 사용하여 2A+B에 9(을)를 곱합니다.

$$18A+9B-B=42$$

9B과(와) -B을(를) 결합하여 8B(을)를 구합니다.

$$18A+8B=42$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 A을(를) 고립시켜 A에 대한 해를 찾습니다.

$$3A+2B=6$$

수식의 양쪽에서 2B을(를) 뺍니다.

$$3A=-2B+6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

\frac{1}{3}에 -2B+6을(를) 곱합니다.

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

다른 수식 18A+8B=42에서 -\frac{2B}{3}+2을(를) A(으)로 치환합니다.

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

18에 -\frac{2B}{3}+2을(를) 곱합니다.

$$-12B+36+8B=42$$

-12B을(를) 8B에 추가합니다.

$$-4B+36=42$$

수식의 양쪽에서 36을(를) 뺍니다.

$$-4B=6$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$B=-\frac{3}{2}$$

A=-\frac{2}{3}B+2에서 B을(를) -\frac{3}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 A에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{2}{3}에 -\frac{3}{2}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$A=1+2$$

2을(를) 1에 추가합니다.

$$A=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 A+B에 3(을)를 곱합니다.

$$3A+3B-B=6$$

3B과(와) -B을(를) 결합하여 2B(을)를 구합니다.

$$3A+2B=6$$

두 번째 수식을 검토합니다. 3의 2제곱을 계산하여 9을(를) 구합니다.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

분배 법칙을 사용하여 2A+B에 9(을)를 곱합니다.

$$18A+9B-B=42$$

9B과(와) -B을(를) 결합하여 8B(을)를 구합니다.

$$18A+8B=42$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 A 및 B을(를) 추출합니다.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 A+B에 3(을)를 곱합니다.

$$3A+3B-B=6$$

3B과(와) -B을(를) 결합하여 2B(을)를 구합니다.

$$3A+2B=6$$

두 번째 수식을 검토합니다. 3의 2제곱을 계산하여 9을(를) 구합니다.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

분배 법칙을 사용하여 2A+B에 9(을)를 곱합니다.

$$18A+9B-B=42$$

9B과(와) -B을(를) 결합하여 8B(을)를 구합니다.

$$18A+8B=42$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

3A 및 18A을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 18을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

단순화합니다.

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 54A+36B=108에서 54A+24B=126을(를) 뺍니다.

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

54A을(를) -54A에 추가합니다. 54A 및 -54A이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$36B-24B=108-126$$

36B을(를) -24B에 추가합니다.

$$12B=108-126$$

108을(를) -126에 추가합니다.

$$12B=-18$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$B=-\frac{3}{2}$$

18A+8B=42에서 B을(를) -\frac{3}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 A에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

8에 -\frac{3}{2}을(를) 곱합니다.

$$18A-12=42$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$18A=54$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$A=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$