다음을 풀어보세요: {l}{text{onmethod.}5x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { on method. } 5 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x-y=-2$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-2y=4$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$5x=2y+4$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

\frac{1}{5}에 4+2y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

다른 수식 x-y=-2에서 \frac{4+2y}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-y=-2$$

\frac{2y}{5}을(를) -y에 추가합니다.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5}=-2$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{5}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{14}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{3}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{14}{3}$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}에서 y을(를) \frac{14}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{14}{3}+\frac{4}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{2}{5}에 \frac{14}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{28}{15}+\frac{4}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{4}{5}을(를) \frac{28}{15}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{8}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x-y=-2$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{5}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x-y=-2$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

5x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$5x-2y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-2\right)$$

단순화합니다.

$$5x-2y=4,5x-5y=-10$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5x-2y=4에서 5x-5y=-10을(를) 뺍니다.

$$5x-5x-2y+5y=4+10$$

5x을(를) -5x에 추가합니다. 5x 및 -5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y+5y=4+10$$

-2y을(를) 5y에 추가합니다.

$$3y=4+10$$

4을(를) 10에 추가합니다.

$$3y=14$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{14}{3}$$

x-y=-2에서 y을(를) \frac{14}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x-\frac{14}{3}=-2$$

수식의 양쪽에 \frac{14}{3}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{8}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$