다음을 풀어보세요: {l}{text{(1)}34=a*30^2+b*30+50}{text{(2)}0=a*49^2+b*49+50}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (1) } 34 = a \cdot 30 ^ { 2 } + b \cdot 30 + 50 } \\ { \text { (2) } 0 = a \cdot 49 ^ { 2 } + b \cdot 49 + 50 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=-\frac{358}{13965}\approx -0.025635517$$

$$b=\frac{3292}{13965}\approx 0.235732188$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 30의 2제곱을 계산하여 900을(를) 구합니다.

$$34=a\times 900+b\times 30+50$$

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$a\times 900+b\times 30+50=34$$

양쪽 모두에서 50을(를) 뺍니다.

$$a\times 900+b\times 30=34-50$$

34에서 50을(를) 빼고 -16을(를) 구합니다.

$$a\times 900+b\times 30=-16$$

두 번째 수식을 검토합니다. 49의 2제곱을 계산하여 2401을(를) 구합니다.

$$0=a\times 2401+b\times 49+50$$

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$a\times 2401+b\times 49+50=0$$

양쪽 모두에서 50을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$a\times 2401+b\times 49=-50$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$900a+30b=-16,2401a+49b=-50$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$900a+30b=-16$$

수식의 양쪽에서 30b을(를) 뺍니다.

$$900a=-30b-16$$

양쪽을 900(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{900}\left(-30b-16\right)$$

\frac{1}{900}에 -30b-16을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{1}{30}b-\frac{4}{225}$$

다른 수식 2401a+49b=-50에서 -\frac{b}{30}-\frac{4}{225}을(를) a(으)로 치환합니다.

$$2401\left(-\frac{1}{30}b-\frac{4}{225}\right)+49b=-50$$

2401에 -\frac{b}{30}-\frac{4}{225}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2401}{30}b-\frac{9604}{225}+49b=-50$$

-\frac{2401b}{30}을(를) 49b에 추가합니다.

$$-\frac{931}{30}b-\frac{9604}{225}=-50$$

수식의 양쪽에 \frac{9604}{225}을(를) 더합니다.

$$-\frac{931}{30}b=-\frac{1646}{225}$$

수식의 양쪽을 -\frac{931}{30}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$b=\frac{3292}{13965}$$

a=-\frac{1}{30}b-\frac{4}{225}에서 b을(를) \frac{3292}{13965}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{1}{30}\times \frac{3292}{13965}-\frac{4}{225}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{30}에 \frac{3292}{13965}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=-\frac{1646}{209475}-\frac{4}{225}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{4}{225}을(를) -\frac{1646}{209475}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=-\frac{358}{13965}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-\frac{358}{13965},b=\frac{3292}{13965}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 30의 2제곱을 계산하여 900을(를) 구합니다.

$$34=a\times 900+b\times 30+50$$

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$a\times 900+b\times 30+50=34$$

양쪽 모두에서 50을(를) 뺍니다.

$$a\times 900+b\times 30=34-50$$

34에서 50을(를) 빼고 -16을(를) 구합니다.

$$a\times 900+b\times 30=-16$$

두 번째 수식을 검토합니다. 49의 2제곱을 계산하여 2401을(를) 구합니다.

$$0=a\times 2401+b\times 49+50$$

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$a\times 2401+b\times 49+50=0$$

양쪽 모두에서 50을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$a\times 2401+b\times 49=-50$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$900a+30b=-16,2401a+49b=-50$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}900&30\\2401&49\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}900&30\\2401&49\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}900&30\\2401&49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}900&30\\2401&49\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}900&30\\2401&49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-50\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}900&30\\2401&49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-50\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}900&30\\2401&49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{900\times 49-30\times 2401}&-\frac{30}{900\times 49-30\times 2401}\\-\frac{2401}{900\times 49-30\times 2401}&\frac{900}{900\times 49-30\times 2401}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-50\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{570}&\frac{1}{931}\\\frac{49}{570}&-\frac{30}{931}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-50\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{570}\left(-16\right)+\frac{1}{931}\left(-50\right)\\\frac{49}{570}\left(-16\right)-\frac{30}{931}\left(-50\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{358}{13965}\\\frac{3292}{13965}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=-\frac{358}{13965},b=\frac{3292}{13965}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 30의 2제곱을 계산하여 900을(를) 구합니다.

$$34=a\times 900+b\times 30+50$$

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$a\times 900+b\times 30+50=34$$

양쪽 모두에서 50을(를) 뺍니다.

$$a\times 900+b\times 30=34-50$$

34에서 50을(를) 빼고 -16을(를) 구합니다.

$$a\times 900+b\times 30=-16$$

두 번째 수식을 검토합니다. 49의 2제곱을 계산하여 2401을(를) 구합니다.

$$0=a\times 2401+b\times 49+50$$

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$a\times 2401+b\times 49+50=0$$

양쪽 모두에서 50을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$a\times 2401+b\times 49=-50$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$900a+30b=-16,2401a+49b=-50$$

900a 및 2401a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2401을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 900을(를) 곱합니다.

$$2401\times 900a+2401\times 30b=2401\left(-16\right),900\times 2401a+900\times 49b=900\left(-50\right)$$

단순화합니다.

$$2160900a+72030b=-38416,2160900a+44100b=-45000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2160900a+72030b=-38416에서 2160900a+44100b=-45000을(를) 뺍니다.

$$2160900a-2160900a+72030b-44100b=-38416+45000$$

2160900a을(를) -2160900a에 추가합니다. 2160900a 및 -2160900a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$72030b-44100b=-38416+45000$$

72030b을(를) -44100b에 추가합니다.

$$27930b=-38416+45000$$

-38416을(를) 45000에 추가합니다.

$$27930b=6584$$

양쪽을 27930(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{3292}{13965}$$

2401a+49b=-50에서 b을(를) \frac{3292}{13965}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2401a+49\times \frac{3292}{13965}=-50$$

49에 \frac{3292}{13965}을(를) 곱합니다.

$$2401a+\frac{3292}{285}=-50$$

수식의 양쪽에서 \frac{3292}{285}을(를) 뺍니다.

$$2401a=-\frac{17542}{285}$$

양쪽을 2401(으)로 나눕니다.

$$a=-\frac{358}{13965}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-\frac{358}{13965},b=\frac{3292}{13965}$$