다음을 풀어보세요: {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

y, z에 대한 해

$$y=18$$

$$z=-3$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$y+2z=4\times 3$$

4과(와) 3을(를) 곱하여 12(을)를 구합니다.

$$y+2z=12$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 6,3의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$5y+2\times 7z=48$$

2과(와) 7을(를) 곱하여 14(을)를 구합니다.

$$5y+14z=48$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y+2z=12$$

수식의 양쪽에서 2z을(를) 뺍니다.

$$y=-2z+12$$

다른 수식 5y+14z=48에서 -2z+12을(를) y(으)로 치환합니다.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

5에 -2z+12을(를) 곱합니다.

$$-10z+60+14z=48$$

-10z을(를) 14z에 추가합니다.

$$4z+60=48$$

수식의 양쪽에서 60을(를) 뺍니다.

$$4z=-12$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$z=-3$$

y=-2z+12에서 z을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

-2에 -3을(를) 곱합니다.

$$y=6+12$$

12을(를) 6에 추가합니다.

$$y=18$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=18,z=-3$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$y+2z=4\times 3$$

4과(와) 3을(를) 곱하여 12(을)를 구합니다.

$$y+2z=12$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 6,3의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$5y+2\times 7z=48$$

2과(와) 7을(를) 곱하여 14(을)를 구합니다.

$$5y+14z=48$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 z을(를) 추출합니다.

$$y=18,z=-3$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$y+2z=4\times 3$$

4과(와) 3을(를) 곱하여 12(을)를 구합니다.

$$y+2z=12$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 6,3의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$5y+2\times 7z=48$$

2과(와) 7을(를) 곱하여 14(을)를 구합니다.

$$5y+14z=48$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

y 및 5y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

단순화합니다.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5y+10z=60에서 5y+14z=48을(를) 뺍니다.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

5y을(를) -5y에 추가합니다. 5y 및 -5y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$10z-14z=60-48$$

10z을(를) -14z에 추가합니다.

$$-4z=60-48$$

60을(를) -48에 추가합니다.

$$-4z=12$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$z=-3$$

5y+14z=48에서 z을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

14에 -3을(를) 곱합니다.

$$5y-42=48$$

수식의 양쪽에 42을(를) 더합니다.

$$5y=90$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=18$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=18,z=-3$$