다음을 풀어보세요: {l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=12$$

$$y=8$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,2의 최소 공통 배수인 4(으)로 곱합니다.

$$x+2y=28$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,4의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.

$$4x-3y=24$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+2y=28$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$x=-2y+28$$

다른 수식 4x-3y=24에서 -2y+28을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

4에 -2y+28을(를) 곱합니다.

$$-8y+112-3y=24$$

-8y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-11y+112=24$$

수식의 양쪽에서 112을(를) 뺍니다.

$$-11y=-88$$

양쪽을 -11(으)로 나눕니다.

$$y=8$$

x=-2y+28에서 y을(를) 8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\times 8+28$$

-2에 8을(를) 곱합니다.

$$x=-16+28$$

28을(를) -16에 추가합니다.

$$x=12$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=12,y=8$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,2의 최소 공통 배수인 4(으)로 곱합니다.

$$x+2y=28$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,4의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.

$$4x-3y=24$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=12,y=8$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,2의 최소 공통 배수인 4(으)로 곱합니다.

$$x+2y=28$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,4의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.

$$4x-3y=24$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

단순화합니다.

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4x+8y=112에서 4x-3y=24을(를) 뺍니다.

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

4x을(를) -4x에 추가합니다. 4x 및 -4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8y+3y=112-24$$

8y을(를) 3y에 추가합니다.

$$11y=112-24$$

112을(를) -24에 추가합니다.

$$11y=88$$

양쪽을 11(으)로 나눕니다.

$$y=8$$

4x-3y=24에서 y을(를) 8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-3\times 8=24$$

-3에 8을(를) 곱합니다.

$$4x-24=24$$

수식의 양쪽에 24을(를) 더합니다.

$$4x=48$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=12$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=12,y=8$$