다음을 풀어보세요: {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=12$$

$$y=15$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,5의 최소 공통 배수인 15(으)로 곱합니다.

$$5x+3y=105$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 6,5의 최소 공통 배수인 30(으)로 곱합니다.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-6과(와) 2을(를) 곱하여 -12(을)를 구합니다.

$$5x-12y=-120$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+3y=105$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$5x=-3y+105$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

\frac{1}{5}에 -3y+105을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

다른 수식 5x-12y=-120에서 -\frac{3y}{5}+21을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

5에 -\frac{3y}{5}+21을(를) 곱합니다.

$$-3y+105-12y=-120$$

-3y을(를) -12y에 추가합니다.

$$-15y+105=-120$$

수식의 양쪽에서 105을(를) 뺍니다.

$$-15y=-225$$

양쪽을 -15(으)로 나눕니다.

$$y=15$$

x=-\frac{3}{5}y+21에서 y을(를) 15(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

-\frac{3}{5}에 15을(를) 곱합니다.

$$x=-9+21$$

21을(를) -9에 추가합니다.

$$x=12$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=12,y=15$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,5의 최소 공통 배수인 15(으)로 곱합니다.

$$5x+3y=105$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 6,5의 최소 공통 배수인 30(으)로 곱합니다.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-6과(와) 2을(를) 곱하여 -12(을)를 구합니다.

$$5x-12y=-120$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=12,y=15$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,5의 최소 공통 배수인 15(으)로 곱합니다.

$$5x+3y=105$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 6,5의 최소 공통 배수인 30(으)로 곱합니다.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-6과(와) 2을(를) 곱하여 -12(을)를 구합니다.

$$5x-12y=-120$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5x+3y=105에서 5x-12y=-120을(를) 뺍니다.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

5x을(를) -5x에 추가합니다. 5x 및 -5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3y+12y=105+120$$

3y을(를) 12y에 추가합니다.

$$15y=105+120$$

105을(를) 120에 추가합니다.

$$15y=225$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$y=15$$

5x-12y=-120에서 y을(를) 15(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x-12\times 15=-120$$

-12에 15을(를) 곱합니다.

$$5x-180=-120$$

수식의 양쪽에 180을(를) 더합니다.

$$5x=60$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=12$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=12,y=15$$