다음을 풀어보세요: {l}{x/3+y/2=8}{x/5+y/6=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 6 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=15$$

$$y=6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{y}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+8$$

양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$x=3\left(-\frac{1}{2}y+8\right)$$

3에 -\frac{y}{2}+8을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{2}y+24$$

다른 수식 \frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4에서 -\frac{3y}{2}+24을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}y+24\right)+\frac{1}{6}y=4$$

\frac{1}{5}에 -\frac{3y}{2}+24을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{10}y+\frac{24}{5}+\frac{1}{6}y=4$$

-\frac{3y}{10}을(를) \frac{y}{6}에 추가합니다.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{24}{5}=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{24}{5}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{2}{15}y=-\frac{4}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{2}{15}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=6$$

x=-\frac{3}{2}y+24에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+24$$

-\frac{3}{2}에 6을(를) 곱합니다.

$$x=-9+24$$

24을(를) -9에 추가합니다.

$$x=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=15,y=6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}&\frac{45}{4}\\\frac{9}{2}&-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}\times 8+\frac{45}{4}\times 4\\\frac{9}{2}\times 8-\frac{15}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=15,y=6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

\frac{x}{3} 및 \frac{x}{5}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{5}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{5}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{5}\times 8,\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{3}\times 4$$

단순화합니다.

$$\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5},\frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3}$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5}에서 \frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{15}x-\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

\frac{x}{15}을(를) -\frac{x}{15}에 추가합니다. \frac{x}{15} 및 -\frac{x}{15}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

\frac{y}{10}을(를) -\frac{y}{18}에 추가합니다.

$$\frac{2}{45}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{8}{5}을(를) -\frac{4}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$\frac{2}{45}y=\frac{4}{15}$$

수식의 양쪽을 \frac{2}{45}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=6$$

\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}\times 6=4$$

\frac{1}{6}에 6을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{5}x+1=4$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{5}x=3$$

양쪽에 5을(를) 곱합니다.

$$x=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=15,y=6$$