다음을 풀어보세요: {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

대입 및 근의 공식을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 9,4의 최소 공통 배수인 36(으)로 곱합니다.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대해 3x+4y=1을(를) 풉니다.

$$3x+4y=1$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$3x=-4y+1$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

다른 수식 9y^{2}+4x^{2}=36에서 -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}을(를) 제곱합니다.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

4에 \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}을(를) 곱합니다.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

9y^{2}을(를) \frac{64}{9}y^{2}에 추가합니다.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

수식의 양쪽에서 36을(를) 뺍니다.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}을(를) a로, 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2을(를) b로, -\frac{320}{9}을(를) c로 치환합니다.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2을(를) 제곱합니다.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

-4에 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{580}{9}에 -\frac{320}{9}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1024}{81}을(를) \frac{185600}{81}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

2304의 제곱근을 구합니다.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2의 반대는 \frac{32}{9}입니다.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

2에 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}을(를) 풉니다. \frac{32}{9}을(를) 48에 추가합니다.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{464}{9}에 \frac{290}{9}의 역수를 곱하여 \frac{464}{9}을(를) \frac{290}{9}(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{8}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}을(를) 풉니다. \frac{32}{9}에서 48을(를) 뺍니다.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

-\frac{400}{9}에 \frac{290}{9}의 역수를 곱하여 -\frac{400}{9}을(를) \frac{290}{9}(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{40}{29}$$

y: \frac{8}{5} 및 -\frac{40}{29}에 대해 두 개의 해답이 있습니다. 방정식 x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}에서 \frac{8}{5}을(를) y(으)로 치환해서 두 수식을 모두 만족하는 x에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{4}{3}에 \frac{8}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}을(를) \frac{1}{3}에 추가합니다.

$$x=-\frac{9}{5}$$

수식 x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}에서 -\frac{40}{29}을(를) y(으)로 치환하고 해답을 찾아서 두 수식을 모두 충족하는 x에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{4}{3}에 -\frac{40}{29}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

-\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right)을(를) \frac{1}{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{63}{29}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$