다음을 풀어보세요: {l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=3$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,2의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

분배 법칙을 사용하여 2에 9x+4y(을)를 곱합니다.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 5x-11(을)를 곱합니다.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

18x과(와) -15x을(를) 결합하여 3x(을)를 구합니다.

$$3x+8y+33=78-6y$$

양쪽에 6y을(를) 더합니다.

$$3x+8y+33+6y=78$$

8y과(와) 6y을(를) 결합하여 14y(을)를 구합니다.

$$3x+14y+33=78$$

양쪽 모두에서 33을(를) 뺍니다.

$$3x+14y=78-33$$

78에서 33을(를) 빼고 45을(를) 구합니다.

$$3x+14y=45$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+14y=45$$

수식의 양쪽에서 14y을(를) 뺍니다.

$$3x=-14y+45$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

\frac{1}{3}에 -14y+45을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

다른 수식 13x-7y=-8에서 -\frac{14y}{3}+15을(를) x(으)로 치환합니다.

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

13에 -\frac{14y}{3}+15을(를) 곱합니다.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

-\frac{182y}{3}을(를) -7y에 추가합니다.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

수식의 양쪽에서 195을(를) 뺍니다.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

수식의 양쪽을 -\frac{203}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=3$$

x=-\frac{14}{3}y+15에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

-\frac{14}{3}에 3을(를) 곱합니다.

$$x=-14+15$$

15을(를) -14에 추가합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=3$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,2의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

분배 법칙을 사용하여 2에 9x+4y(을)를 곱합니다.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 5x-11(을)를 곱합니다.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

18x과(와) -15x을(를) 결합하여 3x(을)를 구합니다.

$$3x+8y+33=78-6y$$

양쪽에 6y을(를) 더합니다.

$$3x+8y+33+6y=78$$

8y과(와) 6y을(를) 결합하여 14y(을)를 구합니다.

$$3x+14y+33=78$$

양쪽 모두에서 33을(를) 뺍니다.

$$3x+14y=78-33$$

78에서 33을(를) 빼고 45을(를) 구합니다.

$$3x+14y=45$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=3$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,2의 최소 공통 배수인 6(으)로 곱합니다.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

분배 법칙을 사용하여 2에 9x+4y(을)를 곱합니다.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

분배 법칙을 사용하여 -3에 5x-11(을)를 곱합니다.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

18x과(와) -15x을(를) 결합하여 3x(을)를 구합니다.

$$3x+8y+33=78-6y$$

양쪽에 6y을(를) 더합니다.

$$3x+8y+33+6y=78$$

8y과(와) 6y을(를) 결합하여 14y(을)를 구합니다.

$$3x+14y+33=78$$

양쪽 모두에서 33을(를) 뺍니다.

$$3x+14y=78-33$$

78에서 33을(를) 빼고 45을(를) 구합니다.

$$3x+14y=45$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

3x 및 13x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 13을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

단순화합니다.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 39x+182y=585에서 39x-21y=-24을(를) 뺍니다.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

39x을(를) -39x에 추가합니다. 39x 및 -39x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$182y+21y=585+24$$

182y을(를) 21y에 추가합니다.

$$203y=585+24$$

585을(를) 24에 추가합니다.

$$203y=609$$

양쪽을 203(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

13x-7y=-8에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$13x-7\times 3=-8$$

-7에 3을(를) 곱합니다.

$$13x-21=-8$$

수식의 양쪽에 21을(를) 더합니다.

$$13x=13$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=3$$