y, x에 대한 해
x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5
y=115
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\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10
대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.
\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}
수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.
\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}
수식의 양쪽에 x을(를) 더합니다.
y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)
양쪽에 5을(를) 곱합니다.
y=5x+\frac{5}{2}
5에 x+\frac{1}{2}을(를) 곱합니다.
-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10
다른 수식 -\frac{1}{2}y+3x=10에서 5x+\frac{5}{2}을(를) y(으)로 치환합니다.
-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10
-\frac{1}{2}에 5x+\frac{5}{2}을(를) 곱합니다.
\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10
-\frac{5x}{2}을(를) 3x에 추가합니다.
\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}
수식의 양쪽에 \frac{5}{4}을(를) 더합니다.
x=\frac{45}{2}
양쪽에 2을(를) 곱합니다.
y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}
y=5x+\frac{5}{2}에서 x을(를) \frac{45}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
y=\frac{225+5}{2}
5에 \frac{45}{2}을(를) 곱합니다.
y=115
공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{2}을(를) \frac{225}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
y=115,x=\frac{45}{2}
시스템이 이제 해결되었습니다.
\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10
표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.
\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)
수식을 행렬 형식으로 작성합니다.
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)
행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)
등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)
2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)
행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
y=115,x=\frac{45}{2}
행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.
\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10
소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.
-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10
\frac{y}{5} 및 -\frac{y}{2}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -\frac{1}{2}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{5}을(를) 곱합니다.
-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2
단순화합니다.
-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2
등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4}에서 -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2을(를) 뺍니다.
\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2
-\frac{y}{10}을(를) \frac{y}{10}에 추가합니다. -\frac{y}{10} 및 \frac{y}{10}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.
-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2
\frac{x}{2}을(를) -\frac{3x}{5}에 추가합니다.
-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}
-\frac{1}{4}을(를) -2에 추가합니다.
x=\frac{45}{2}
양쪽에 -10을(를) 곱합니다.
-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10
-\frac{1}{2}y+3x=10에서 x을(를) \frac{45}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10
3에 \frac{45}{2}을(를) 곱합니다.
-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}
수식의 양쪽에서 \frac{135}{2}을(를) 뺍니다.
y=115
양쪽에 -2을(를) 곱합니다.
y=115,x=\frac{45}{2}
시스템이 이제 해결되었습니다.
예제
이차방정식
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
삼각법
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
일차방정식
y = 3x + 4
산수
699 * 533
행렬
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
연립방정식
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
미분
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
적분
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
극한
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}