다음을 풀어보세요: {c}{y=2x}{4x+3y=30}

$$\left. \begin{array} { c } { y = 2 x } \\ { 4 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=3$$

$$y=6$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-2x=0,3y+4x=30$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-2x=0$$

수식의 양쪽에 2x을(를) 더합니다.

$$y=2x$$

다른 수식 3y+4x=30에서 2x을(를) y(으)로 치환합니다.

$$3\times 2x+4x=30$$

3에 2x을(를) 곱합니다.

$$6x+4x=30$$

6x을(를) 4x에 추가합니다.

$$10x=30$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

y=2x에서 x을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=2\times 3$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$y=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=6,x=3$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-2x=0,3y+4x=30$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{10}\times 30\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=6,x=3$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-2x=0,3y+4x=30$$

y 및 3y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$3y+3\left(-2\right)x=0,3y+4x=30$$

단순화합니다.

$$3y-6x=0,3y+4x=30$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3y-6x=0에서 3y+4x=30을(를) 뺍니다.

$$3y-3y-6x-4x=-30$$

3y을(를) -3y에 추가합니다. 3y 및 -3y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6x-4x=-30$$

-6x을(를) -4x에 추가합니다.

$$-10x=-30$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

3y+4x=30에서 x을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3y+4\times 3=30$$

4에 3을(를) 곱합니다.

$$3y+12=30$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$3y=18$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=6,x=3$$