다음을 풀어보세요: {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=8$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+8$$

다른 수식 40x+55y=410에서 -y+8을(를) x(으)로 치환합니다.

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

40에 -y+8을(를) 곱합니다.

$$-40y+320+55y=410$$

-40y을(를) 55y에 추가합니다.

$$15y+320=410$$

수식의 양쪽에서 320을(를) 뺍니다.

$$15y=90$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

x=-y+8에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-6+8$$

8을(를) -6에 추가합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

x 및 40x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 40을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

단순화합니다.

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 40x+40y=320에서 40x+55y=410을(를) 뺍니다.

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

40x을(를) -40x에 추가합니다. 40x 및 -40x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$40y-55y=320-410$$

40y을(를) -55y에 추가합니다.

$$-15y=320-410$$

320을(를) -410에 추가합니다.

$$-15y=-90$$

양쪽을 -15(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

40x+55y=410에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$40x+55\times 6=410$$

55에 6을(를) 곱합니다.

$$40x+330=410$$

수식의 양쪽에서 330을(를) 뺍니다.

$$40x=80$$

양쪽을 40(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=6$$