다음을 풀어보세요: {c}{x+y=64}{12x+26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x + 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{235}{2} = 117\frac{1}{2} = 117.5$$

$$y = -\frac{107}{2} = -53\frac{1}{2} = -53.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=64$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+64$$

다른 수식 12x+26y=19에서 -y+64을(를) x(으)로 치환합니다.

$$12\left(-y+64\right)+26y=19$$

12에 -y+64을(를) 곱합니다.

$$-12y+768+26y=19$$

-12y을(를) 26y에 추가합니다.

$$14y+768=19$$

수식의 양쪽에서 768을(를) 뺍니다.

$$14y=-749$$

양쪽을 14(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{107}{2}$$

x=-y+64에서 y을(를) -\frac{107}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\left(-\frac{107}{2}\right)+64$$

-1에 -\frac{107}{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{107}{2}+64$$

64을(를) \frac{107}{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{235}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{26-12}&-\frac{1}{26-12}\\-\frac{12}{26-12}&\frac{1}{26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{1}{14}\times 19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{1}{14}\times 19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{235}{2}\\-\frac{107}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

x 및 12x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 12을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$12x+12y=12\times 64,12x+26y=19$$

단순화합니다.

$$12x+12y=768,12x+26y=19$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x+12y=768에서 12x+26y=19을(를) 뺍니다.

$$12x-12x+12y-26y=768-19$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12y-26y=768-19$$

12y을(를) -26y에 추가합니다.

$$-14y=768-19$$

768을(를) -19에 추가합니다.

$$-14y=749$$

양쪽을 -14(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{107}{2}$$

12x+26y=19에서 y을(를) -\frac{107}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$12x+26\left(-\frac{107}{2}\right)=19$$

26에 -\frac{107}{2}을(를) 곱합니다.

$$12x-1391=19$$

수식의 양쪽에 1391을(를) 더합니다.

$$12x=1410$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{235}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$