다음을 풀어보세요: {c}{x+y=500}{50x+80y=28000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=400$$

$$y=100$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=500$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+500$$

다른 수식 50x+80y=28000에서 -y+500을(를) x(으)로 치환합니다.

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

50에 -y+500을(를) 곱합니다.

$$-50y+25000+80y=28000$$

-50y을(를) 80y에 추가합니다.

$$30y+25000=28000$$

수식의 양쪽에서 25000을(를) 뺍니다.

$$30y=3000$$

양쪽을 30(으)로 나눕니다.

$$y=100$$

x=-y+500에서 y을(를) 100(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-100+500$$

500을(를) -100에 추가합니다.

$$x=400$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=400,y=100$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=400,y=100$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

x 및 50x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 50을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

단순화합니다.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 50x+50y=25000에서 50x+80y=28000을(를) 뺍니다.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

50x을(를) -50x에 추가합니다. 50x 및 -50x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$50y-80y=25000-28000$$

50y을(를) -80y에 추가합니다.

$$-30y=25000-28000$$

25000을(를) -28000에 추가합니다.

$$-30y=-3000$$

양쪽을 -30(으)로 나눕니다.

$$y=100$$

50x+80y=28000에서 y을(를) 100(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$50x+80\times 100=28000$$

80에 100을(를) 곱합니다.

$$50x+8000=28000$$

수식의 양쪽에서 8000을(를) 뺍니다.

$$50x=20000$$

양쪽을 50(으)로 나눕니다.

$$x=400$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=400,y=100$$