다음을 풀어보세요: {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=21$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+21$$

다른 수식 0.25x+0.05y=3.35에서 -y+21을(를) x(으)로 치환합니다.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

0.25에 -y+21을(를) 곱합니다.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

-\frac{y}{4}을(를) \frac{y}{20}에 추가합니다.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

수식의 양쪽에서 5.25을(를) 뺍니다.

$$-0.2y=-1.9$$

양쪽에 -5을(를) 곱합니다.

$$y=9.5$$

x=-y+21에서 y을(를) 9.5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-9.5+21$$

21을(를) -9.5에 추가합니다.

$$x=11.5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=11.5,y=9.5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=11.5,y=9.5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

x 및 \frac{x}{4}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 0.25을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

단순화합니다.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 0.25x+0.25y=5.25에서 0.25x+0.05y=3.35을(를) 뺍니다.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

\frac{x}{4}을(를) -\frac{x}{4}에 추가합니다. \frac{x}{4} 및 -\frac{x}{4}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

\frac{y}{4}을(를) -\frac{y}{20}에 추가합니다.

$$0.2y=5.25-3.35$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 5.25을(를) -3.35에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$0.2y=1.9$$

양쪽에 5을(를) 곱합니다.

$$y=9.5$$

0.25x+0.05y=3.35에서 y을(를) 9.5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 0.05에 9.5을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$0.25x+0.475=3.35$$

수식의 양쪽에서 0.475을(를) 뺍니다.

$$0.25x=2.875$$

양쪽에 4을(를) 곱합니다.

$$x=11.5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=11.5,y=9.5$$