다음을 풀어보세요: {c}{7x+5y=54}{3x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { 3 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=8$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x+5y=54$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$7x=-5y+54$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

\frac{1}{7}에 -5y+54을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

다른 수식 3x+4y=38에서 \frac{-5y+54}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+4y=38$$

3에 \frac{-5y+54}{7}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{15}{7}y+\frac{162}{7}+4y=38$$

-\frac{15y}{7}을(를) 4y에 추가합니다.

$$\frac{13}{7}y+\frac{162}{7}=38$$

수식의 양쪽에서 \frac{162}{7}을(를) 뺍니다.

$$\frac{13}{7}y=\frac{104}{7}$$

수식의 양쪽을 \frac{13}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=8$$

x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}에서 y을(를) 8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{7}\times 8+\frac{54}{7}$$

-\frac{5}{7}에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-40+54}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{54}{7}을(를) -\frac{40}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=8$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{7\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{7\times 4-5\times 3}&\frac{7}{7\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{7}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 54-\frac{5}{13}\times 38\\-\frac{3}{13}\times 54+\frac{7}{13}\times 38\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=8$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

7x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$3\times 7x+3\times 5y=3\times 54,7\times 3x+7\times 4y=7\times 38$$

단순화합니다.

$$21x+15y=162,21x+28y=266$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 21x+15y=162에서 21x+28y=266을(를) 뺍니다.

$$21x-21x+15y-28y=162-266$$

21x을(를) -21x에 추가합니다. 21x 및 -21x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$15y-28y=162-266$$

15y을(를) -28y에 추가합니다.

$$-13y=162-266$$

162을(를) -266에 추가합니다.

$$-13y=-104$$

양쪽을 -13(으)로 나눕니다.

$$y=8$$

3x+4y=38에서 y을(를) 8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+4\times 8=38$$

4에 8을(를) 곱합니다.

$$3x+32=38$$

수식의 양쪽에서 32을(를) 뺍니다.

$$3x=6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=8$$