다음을 풀어보세요: {c}{6x+3y=180}{-x-y=1}

$$\left. \begin{array} { c } { 6 x + 3 y = 180 } \\ { - x - y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=61$$

$$y=-62$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6x+3y=180,-x-y=1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$6x+3y=180$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$6x=-3y+180$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+180\right)$$

\frac{1}{6}에 -3y+180을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+30$$

다른 수식 -x-y=1에서 -\frac{y}{2}+30을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+30\right)-y=1$$

-1에 -\frac{y}{2}+30을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{2}y-30-y=1$$

\frac{y}{2}을(를) -y에 추가합니다.

$$-\frac{1}{2}y-30=1$$

수식의 양쪽에 30을(를) 더합니다.

$$-\frac{1}{2}y=31$$

양쪽에 -2을(를) 곱합니다.

$$y=-62$$

x=-\frac{1}{2}y+30에서 y을(를) -62(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-62\right)+30$$

-\frac{1}{2}에 -62을(를) 곱합니다.

$$x=31+30$$

30을(를) 31에 추가합니다.

$$x=61$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=61,y=-62$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6x+3y=180,-x-y=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}180\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&3\\-1&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{6\left(-1\right)-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{6\left(-1\right)-3\left(-1\right)}&\frac{6}{6\left(-1\right)-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&1\\-\frac{1}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 180+1\\-\frac{1}{3}\times 180-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}61\\-62\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=61,y=-62$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6x+3y=180,-x-y=1$$

6x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$-6x-3y=-180,6\left(-1\right)x+6\left(-1\right)y=6$$

단순화합니다.

$$-6x-3y=-180,-6x-6y=6$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -6x-3y=-180에서 -6x-6y=6을(를) 뺍니다.

$$-6x+6x-3y+6y=-180-6$$

-6x을(를) 6x에 추가합니다. -6x 및 6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-3y+6y=-180-6$$

-3y을(를) 6y에 추가합니다.

$$3y=-180-6$$

-180을(를) -6에 추가합니다.

$$3y=-186$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=-62$$

-x-y=1에서 y을(를) -62(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x-\left(-62\right)=1$$

수식의 양쪽에서 62을(를) 뺍니다.

$$-x=-61$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=61$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=61,y=-62$$