다음을 풀어보세요: {c}{40x+60y=480}{30x+15y=180}

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$40x+60y=480$$

수식의 양쪽에서 60y을(를) 뺍니다.

$$40x=-60y+480$$

양쪽을 40(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

\frac{1}{40}에 -60y+480을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

다른 수식 30x+15y=180에서 -\frac{3y}{2}+12을(를) x(으)로 치환합니다.

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

30에 -\frac{3y}{2}+12을(를) 곱합니다.

$$-45y+360+15y=180$$

-45y을(를) 15y에 추가합니다.

$$-30y+360=180$$

수식의 양쪽에서 360을(를) 뺍니다.

$$-30y=-180$$

양쪽을 -30(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

x=-\frac{3}{2}y+12에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

-\frac{3}{2}에 6을(를) 곱합니다.

$$x=-9+12$$

12을(를) -9에 추가합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

40x 및 30x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 30을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 40을(를) 곱합니다.

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

단순화합니다.

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 1200x+1800y=14400에서 1200x+600y=7200을(를) 뺍니다.

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

1200x을(를) -1200x에 추가합니다. 1200x 및 -1200x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$1800y-600y=14400-7200$$

1800y을(를) -600y에 추가합니다.

$$1200y=14400-7200$$

14400을(를) -7200에 추가합니다.

$$1200y=7200$$

양쪽을 1200(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

30x+15y=180에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$30x+15\times 6=180$$

15에 6을(를) 곱합니다.

$$30x+90=180$$

수식의 양쪽에서 90을(를) 뺍니다.

$$30x=90$$

양쪽을 30(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=6$$