다음을 풀어보세요: {c}{4x-y=4}{-12x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x - y = 4 } \\ { - 12 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$y=-9$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x-y=4$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$4x=y+4$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

\frac{1}{4}에 y+4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

다른 수식 -12x+2y=-3에서 \frac{y}{4}+1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-12\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=-3$$

-12에 \frac{y}{4}+1을(를) 곱합니다.

$$-3y-12+2y=-3$$

-3y을(를) 2y에 추가합니다.

$$-y-12=-3$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$-y=9$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=-9$$

x=\frac{1}{4}y+1에서 y을(를) -9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9\right)+1$$

\frac{1}{4}에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{9}{4}+1$$

1을(를) -\frac{9}{4}에 추가합니다.

$$x=-\frac{5}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\\-\frac{-12}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-3\times 4-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

4x 및 -12x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -12을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$-12\times 4x-12\left(-1\right)y=-12\times 4,4\left(-12\right)x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

단순화합니다.

$$-48x+12y=-48,-48x+8y=-12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -48x+12y=-48에서 -48x+8y=-12을(를) 뺍니다.

$$-48x+48x+12y-8y=-48+12$$

-48x을(를) 48x에 추가합니다. -48x 및 48x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12y-8y=-48+12$$

12y을(를) -8y에 추가합니다.

$$4y=-48+12$$

-48을(를) 12에 추가합니다.

$$4y=-36$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=-9$$

-12x+2y=-3에서 y을(를) -9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-12x+2\left(-9\right)=-3$$

2에 -9을(를) 곱합니다.

$$-12x-18=-3$$

수식의 양쪽에 18을(를) 더합니다.

$$-12x=15$$

양쪽을 -12(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{5}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$