다음을 풀어보세요: {c}{4x+5y=6}{x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{27}{23} = 1\frac{4}{23} \approx 1.173913043$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+5y=6$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$4x=-5y+6$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

\frac{1}{4}에 -5y+6을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

다른 수식 x+7y=3에서 -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}+7y=3$$

-\frac{5y}{4}을(를) 7y에 추가합니다.

$$\frac{23}{4}y+\frac{3}{2}=3$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{23}{4}y=\frac{3}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{23}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{6}{23}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}에서 y을(를) \frac{6}{23}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{6}{23}+\frac{3}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{4}에 \frac{6}{23}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{15}{46}+\frac{3}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{2}을(를) -\frac{15}{46}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{27}{23}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5}&-\frac{5}{4\times 7-5}\\-\frac{1}{4\times 7-5}&\frac{4}{4\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 6-\frac{5}{23}\times 3\\-\frac{1}{23}\times 6+\frac{4}{23}\times 3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

4x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$4x+5y=6,4x+4\times 7y=4\times 3$$

단순화합니다.

$$4x+5y=6,4x+28y=12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4x+5y=6에서 4x+28y=12을(를) 뺍니다.

$$4x-4x+5y-28y=6-12$$

4x을(를) -4x에 추가합니다. 4x 및 -4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5y-28y=6-12$$

5y을(를) -28y에 추가합니다.

$$-23y=6-12$$

6을(를) -12에 추가합니다.

$$-23y=-6$$

양쪽을 -23(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{6}{23}$$

x+7y=3에서 y을(를) \frac{6}{23}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+7\times \frac{6}{23}=3$$

7에 \frac{6}{23}을(를) 곱합니다.

$$x+\frac{42}{23}=3$$

수식의 양쪽에서 \frac{42}{23}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{27}{23}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$