다음을 풀어보세요: {c}{3x-3y=-2^2}{(4-2)x-y=2(2)}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x - 3 y = - 2 ^ { 2 } } \\ { ( 4 - 2 ) x - y = 2 ( 2 ) } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-3y=-4,2x-y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-3y=-4$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$3x=3y-4$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y-4\right)$$

\frac{1}{3}에 3y-4을(를) 곱합니다.

$$x=y-\frac{4}{3}$$

다른 수식 2x-y=4에서 y-\frac{4}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(y-\frac{4}{3}\right)-y=4$$

2에 y-\frac{4}{3}을(를) 곱합니다.

$$2y-\frac{8}{3}-y=4$$

2y을(를) -y에 추가합니다.

$$y-\frac{8}{3}=4$$

수식의 양쪽에 \frac{8}{3}을(를) 더합니다.

$$y=\frac{20}{3}$$

x=y-\frac{4}{3}에서 y을(를) \frac{20}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{20-4}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{4}{3}을(를) \frac{20}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{16}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{16}{3},y=\frac{20}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-3y=-4,2x-y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&1\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+4\\-\frac{2}{3}\left(-4\right)+4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{16}{3},y=\frac{20}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-3y=-4,2x-y=4$$

3x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3x+2\left(-3\right)y=2\left(-4\right),3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4$$

단순화합니다.

$$6x-6y=-8,6x-3y=12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x-6y=-8에서 6x-3y=12을(를) 뺍니다.

$$6x-6x-6y+3y=-8-12$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6y+3y=-8-12$$

-6y을(를) 3y에 추가합니다.

$$-3y=-8-12$$

-8을(를) -12에 추가합니다.

$$-3y=-20$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{20}{3}$$

2x-y=4에서 y을(를) \frac{20}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-\frac{20}{3}=4$$

수식의 양쪽에 \frac{20}{3}을(를) 더합니다.

$$2x=\frac{32}{3}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{16}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{16}{3},y=\frac{20}{3}$$