다음을 풀어보세요: {c}{3x+y=5}{-2x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+y=5$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x=-y+5$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{3}에 -y+5을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

다른 수식 -2x+2y=7에서 \frac{-y+5}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

-2에 \frac{-y+5}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

\frac{2y}{3}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

수식의 양쪽에 \frac{10}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{8}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{31}{8}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}에서 y을(를) \frac{31}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{3}에 \frac{31}{8}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{3}을(를) -\frac{31}{24}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{3}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

3x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

단순화합니다.

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -6x-2y=-10에서 -6x+6y=21을(를) 뺍니다.

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

-6x을(를) 6x에 추가합니다. -6x 및 6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y-6y=-10-21$$

-2y을(를) -6y에 추가합니다.

$$-8y=-10-21$$

-10을(를) -21에 추가합니다.

$$-8y=-31$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{31}{8}$$

-2x+2y=7에서 y을(를) \frac{31}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

2에 \frac{31}{8}을(를) 곱합니다.

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{31}{4}을(를) 뺍니다.

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$