다음을 풀어보세요: {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-6$$

$$y=13$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+y+5=0$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$3x+y=-5$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x=-y-5$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

\frac{1}{3}에 -y-5을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

다른 수식 -2x-y+1=0에서 \frac{-y-5}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

-2에 \frac{-y-5}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

\frac{2y}{3}을(를) -y에 추가합니다.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

\frac{10}{3}을(를) 1에 추가합니다.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{13}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

양쪽에 -3을(를) 곱합니다.

$$y=13$$

x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}에서 y을(를) 13(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3}에 13을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{5}{3}을(를) -\frac{13}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-6,y=13$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-6,y=13$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

3x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

단순화합니다.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -6x-2y-10=0에서 -6x-3y+3=0을(를) 뺍니다.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

-6x을(를) 6x에 추가합니다. -6x 및 6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y+3y-10-3=0$$

-2y을(를) 3y에 추가합니다.

$$y-10-3=0$$

-10을(를) -3에 추가합니다.

$$y-13=0$$

수식의 양쪽에 13을(를) 더합니다.

$$y=13$$

-2x-y+1=0에서 y을(를) 13(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x-13+1=0$$

-13을(를) 1에 추가합니다.

$$-2x-12=0$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$-2x=12$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-6,y=13$$