다음을 풀어보세요: {c}{3x+4y=12}{x+6y=-16}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 12 } \\ { x + 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7} \approx 9.714285714$$

$$y = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+4y=12$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$3x=-4y+12$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+12\right)$$

\frac{1}{3}에 -4y+12을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{4}{3}y+4$$

다른 수식 x+6y=-16에서 -\frac{4y}{3}+4을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{4}{3}y+4+6y=-16$$

-\frac{4y}{3}을(를) 6y에 추가합니다.

$$\frac{14}{3}y+4=-16$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$\frac{14}{3}y=-20$$

수식의 양쪽을 \frac{14}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{30}{7}$$

x=-\frac{4}{3}y+4에서 y을(를) -\frac{30}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)+4$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{4}{3}에 -\frac{30}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{40}{7}+4$$

4을(를) \frac{40}{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{68}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4}&-\frac{4}{3\times 6-4}\\-\frac{1}{3\times 6-4}&\frac{3}{3\times 6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\left(-16\right)\\-\frac{1}{14}\times 12+\frac{3}{14}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{68}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

3x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$3x+4y=12,3x+3\times 6y=3\left(-16\right)$$

단순화합니다.

$$3x+4y=12,3x+18y=-48$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x+4y=12에서 3x+18y=-48을(를) 뺍니다.

$$3x-3x+4y-18y=12+48$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4y-18y=12+48$$

4y을(를) -18y에 추가합니다.

$$-14y=12+48$$

12을(를) 48에 추가합니다.

$$-14y=60$$

양쪽을 -14(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{30}{7}$$

x+6y=-16에서 y을(를) -\frac{30}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+6\left(-\frac{30}{7}\right)=-16$$

6에 -\frac{30}{7}을(를) 곱합니다.

$$x-\frac{180}{7}=-16$$

수식의 양쪽에 \frac{180}{7}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{68}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$