다음을 풀어보세요: {c}{3x+2y=32}{365x+226y=35.92}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 35.92 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{44751}{325} = -137\frac{226}{325} \approx -137.695384615$$

$$y = \frac{144653}{650} = 222\frac{353}{650} \approx 222.543076923$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+2y=32$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3x=-2y+32$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

\frac{1}{3}에 -2y+32을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

다른 수식 365x+226y=35.92에서 \frac{-2y+32}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=35.92$$

365에 \frac{-2y+32}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=35.92$$

-\frac{730y}{3}을(를) 226y에 추가합니다.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=35.92$$

수식의 양쪽에서 \frac{11680}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{289306}{75}$$

수식의 양쪽을 -\frac{52}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{144653}{650}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}에서 y을(를) \frac{144653}{650}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{144653}{650}+\frac{32}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{2}{3}에 \frac{144653}{650}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{144653}{975}+\frac{32}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{32}{3}을(를) -\frac{144653}{975}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{44751}{325}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 35.92\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 35.92\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{44751}{325}\\\frac{144653}{650}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

3x 및 365x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 365을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 35.92$$

단순화합니다.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=107.76$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 1095x+730y=11680에서 1095x+678y=107.76을(를) 뺍니다.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-107.76$$

1095x을(를) -1095x에 추가합니다. 1095x 및 -1095x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$730y-678y=11680-107.76$$

730y을(를) -678y에 추가합니다.

$$52y=11680-107.76$$

11680을(를) -107.76에 추가합니다.

$$52y=11572.24$$

양쪽을 52(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{144653}{650}$$

365x+226y=35.92에서 y을(를) \frac{144653}{650}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$365x+226\times \frac{144653}{650}=35.92$$

226에 \frac{144653}{650}을(를) 곱합니다.

$$365x+\frac{16345789}{325}=35.92$$

수식의 양쪽에서 \frac{16345789}{325}을(를) 뺍니다.

$$365x=-\frac{3266823}{65}$$

양쪽을 365(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{44751}{325}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$