다음을 풀어보세요: {c}{2x-y=-3}{4x-3y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x - y = - 3 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-6$$

$$y=-9$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-y=-3,4x-3y=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-y=-3$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$2x=y-3$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

\frac{1}{2}에 y-3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

다른 수식 4x-3y=3에서 \frac{-3+y}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)-3y=3$$

4에 \frac{-3+y}{2}을(를) 곱합니다.

$$2y-6-3y=3$$

2y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-y-6=3$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$-y=9$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=-9$$

x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}에서 y을(를) -9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{3}{2}$$

\frac{1}{2}에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-9-3}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{3}{2}을(를) -\frac{9}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-6,y=-9$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-y=-3,4x-3y=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\left(-3\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times 3\\2\left(-3\right)-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-6,y=-9$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-y=-3,4x-3y=3$$

2x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\left(-3\right),2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 3$$

단순화합니다.

$$8x-4y=-12,8x-6y=6$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x-4y=-12에서 8x-6y=6을(를) 뺍니다.

$$8x-8x-4y+6y=-12-6$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4y+6y=-12-6$$

-4y을(를) 6y에 추가합니다.

$$2y=-12-6$$

-12을(를) -6에 추가합니다.

$$2y=-18$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=-9$$

4x-3y=3에서 y을(를) -9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-3\left(-9\right)=3$$

-3에 -9을(를) 곱합니다.

$$4x+27=3$$

수식의 양쪽에서 27을(를) 뺍니다.

$$4x=-24$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=-6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-6,y=-9$$