다음을 풀어보세요: {c}{2x+y=3}{-2x-4y=-1}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 3 } \\ { - 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6} \approx 1.833333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+y=3$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$2x=-y+3$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

\frac{1}{2}에 -y+3을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

다른 수식 -2x-4y=-1에서 \frac{-y+3}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-4y=-1$$

-2에 \frac{-y+3}{2}을(를) 곱합니다.

$$y-3-4y=-1$$

y을(를) -4y에 추가합니다.

$$-3y-3=-1$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$-3y=2$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{2}{3}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}에서 y을(를) -\frac{2}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{2}에 -\frac{2}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{2}을(를) \frac{1}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{11}{6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

2x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$-2\times 2x-2y=-2\times 3,2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-1\right)$$

단순화합니다.

$$-4x-2y=-6,-4x-8y=-2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -4x-2y=-6에서 -4x-8y=-2을(를) 뺍니다.

$$-4x+4x-2y+8y=-6+2$$

-4x을(를) 4x에 추가합니다. -4x 및 4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y+8y=-6+2$$

-2y을(를) 8y에 추가합니다.

$$6y=-6+2$$

-6을(를) 2에 추가합니다.

$$6y=-4$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{2}{3}$$

-2x-4y=-1에서 y을(를) -\frac{2}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x-4\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$$

-4에 -\frac{2}{3}을(를) 곱합니다.

$$-2x+\frac{8}{3}=-1$$

수식의 양쪽에서 \frac{8}{3}을(를) 뺍니다.

$$-2x=-\frac{11}{3}$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{11}{6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$