다음을 풀어보세요: {c}{2x+6y=7}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 6 y = 7 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

$$y=-\frac{1}{8}=-0.125$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+6y=7$$

수식의 양쪽에서 6y을(를) 뺍니다.

$$2x=-6y+7$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+7\right)$$

\frac{1}{2}에 -6y+7을(를) 곱합니다.

$$x=-3y+\frac{7}{2}$$

다른 수식 x-y=4에서 -3y+\frac{7}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-3y+\frac{7}{2}-y=4$$

-3y을(를) -y에 추가합니다.

$$-4y+\frac{7}{2}=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{2}을(를) 뺍니다.

$$-4y=\frac{1}{2}$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{8}$$

x=-3y+\frac{7}{2}에서 y을(를) -\frac{1}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-3\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{7}{2}$$

-3에 -\frac{1}{8}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{8}+\frac{7}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{2}을(를) \frac{3}{8}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{31}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{4}\times 4\\\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{8}\\-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

2x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$2x+6y=7,2x+2\left(-1\right)y=2\times 4$$

단순화합니다.

$$2x+6y=7,2x-2y=8$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x+6y=7에서 2x-2y=8을(를) 뺍니다.

$$2x-2x+6y+2y=7-8$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6y+2y=7-8$$

6y을(를) 2y에 추가합니다.

$$8y=7-8$$

7을(를) -8에 추가합니다.

$$8y=-1$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{8}$$

x-y=4에서 y을(를) -\frac{1}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x-\left(-\frac{1}{8}\right)=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{8}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{31}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$