다음을 풀어보세요: {c}{10a+b=10}{-a+b=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$10a+b=10$$

수식의 양쪽에서 b을(를) 뺍니다.

$$10a=-b+10$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

\frac{1}{10}에 -b+10을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

다른 수식 -a+b=2에서 -\frac{b}{10}+1을(를) a(으)로 치환합니다.

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

-1에 -\frac{b}{10}+1을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

\frac{b}{10}을(를) b에 추가합니다.

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$\frac{11}{10}b=3$$

수식의 양쪽을 \frac{11}{10}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$b=\frac{30}{11}$$

a=-\frac{1}{10}b+1에서 b을(를) \frac{30}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{10}에 \frac{30}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

1을(를) -\frac{3}{11}에 추가합니다.

$$a=\frac{8}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 10a+b=10에서 -a+b=2을(를) 뺍니다.

$$10a+a+b-b=10-2$$

b을(를) -b에 추가합니다. b 및 -b이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$10a+a=10-2$$

10a을(를) a에 추가합니다.

$$11a=10-2$$

10을(를) -2에 추가합니다.

$$11a=8$$

양쪽을 11(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{8}{11}$$

-a+b=2에서 a을(를) \frac{8}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 b에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

수식의 양쪽에 \frac{8}{11}을(를) 더합니다.

$$b=\frac{30}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$