다음을 풀어보세요: {c}{-ax-12y=15}{4x+3y=-2}

$$\left. \begin{array} { c } { - a x - 12 y = 15 } \\ { 4 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{7}{a-16}$$

$$y=-\frac{2\left(a-30\right)}{3\left(a-16\right)}$$

$$a\neq 16$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$\left(-a\right)x-12y=15,4x+3y=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$\left(-a\right)x-12y=15$$

수식의 양쪽에 12y을(를) 더합니다.

$$\left(-a\right)x=12y+15$$

양쪽을 -a(으)로 나눕니다.

$$x=\left(-\frac{1}{a}\right)\left(12y+15\right)$$

-\frac{1}{a}에 12y+15을(를) 곱합니다.

$$x=\left(-\frac{12}{a}\right)y-\frac{15}{a}$$

다른 수식 4x+3y=-2에서 -\frac{3\left(5+4y\right)}{a}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\left(-\frac{12}{a}\right)y-\frac{15}{a}\right)+3y=-2$$

4에 -\frac{3\left(5+4y\right)}{a}을(를) 곱합니다.

$$\left(-\frac{48}{a}\right)y-\frac{60}{a}+3y=-2$$

-\frac{48y}{a}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\left(3-\frac{48}{a}\right)y-\frac{60}{a}=-2$$

수식의 양쪽에 \frac{60}{a}을(를) 더합니다.

$$\left(3-\frac{48}{a}\right)y=-2+\frac{60}{a}$$

양쪽을 -\frac{48}{a}+3(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{2\left(a-30\right)}{3\left(a-16\right)}$$

x=\left(-\frac{12}{a}\right)y-\frac{15}{a}에서 y을(를) -\frac{2\left(-30+a\right)}{3\left(-16+a\right)}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\left(-\frac{12}{a}\right)\left(-\frac{2\left(a-30\right)}{3\left(a-16\right)}\right)-\frac{15}{a}$$

-\frac{12}{a}에 -\frac{2\left(-30+a\right)}{3\left(-16+a\right)}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{8\left(a-30\right)}{a\left(a-16\right)}-\frac{15}{a}$$

-\frac{15}{a}을(를) \frac{8\left(-30+a\right)}{a\left(-16+a\right)}에 추가합니다.

$$x=-\frac{7}{a-16}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{7}{a-16},y=-\frac{2\left(a-30\right)}{3\left(a-16\right)}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$\left(-a\right)x-12y=15,4x+3y=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-a&-12\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\left(-a\right)\times 3-\left(-12\times 4\right)}&-\frac{-12}{\left(-a\right)\times 3-\left(-12\times 4\right)}\\-\frac{4}{\left(-a\right)\times 3-\left(-12\times 4\right)}&-\frac{a}{\left(-a\right)\times 3-\left(-12\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16-a}&\frac{4}{16-a}\\-\frac{4}{3\left(16-a\right)}&-\frac{a}{3\left(16-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16-a}\times 15+\frac{4}{16-a}\left(-2\right)\\\left(-\frac{4}{3\left(16-a\right)}\right)\times 15+\left(-\frac{a}{3\left(16-a\right)}\right)\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{16-a}\\-\frac{2\left(30-a\right)}{3\left(16-a\right)}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{7}{16-a},y=-\frac{2\left(30-a\right)}{3\left(16-a\right)}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$\left(-a\right)x-12y=15,4x+3y=-2$$

-ax 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -a을(를) 곱합니다.

$$4\left(-a\right)x+4\left(-12\right)y=4\times 15,\left(-a\right)\times 4x+\left(-a\right)\times 3y=\left(-a\right)\left(-2\right)$$

단순화합니다.

$$\left(-4a\right)x-48y=60,\left(-4a\right)x+\left(-3a\right)y=2a$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \left(-4a\right)x-48y=60에서 \left(-4a\right)x+\left(-3a\right)y=2a을(를) 뺍니다.

$$\left(-4a\right)x+4ax-48y+3ay=60-2a$$

-4ax을(를) 4ax에 추가합니다. -4ax 및 4ax이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-48y+3ay=60-2a$$

-48y을(를) 3ay에 추가합니다.

$$\left(3a-48\right)y=60-2a$$

양쪽을 -48+3a(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{2\left(30-a\right)}{3\left(a-16\right)}$$

4x+3y=-2에서 y을(를) \frac{2\left(30-a\right)}{3\left(-16+a\right)}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+3\times \frac{2\left(30-a\right)}{3\left(a-16\right)}=-2$$

3에 \frac{2\left(30-a\right)}{3\left(-16+a\right)}을(를) 곱합니다.

$$4x+\frac{2\left(30-a\right)}{a-16}=-2$$

수식의 양쪽에서 \frac{2\left(30-a\right)}{-16+a}을(를) 뺍니다.

$$4x=-\frac{28}{a-16}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{7}{a-16}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{7}{a-16},y=\frac{2\left(30-a\right)}{3\left(a-16\right)}$$