다음을 풀어보세요: {c}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { c } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=4$$

$$y=10$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$-5y+8x=-18$$

수식의 양쪽에서 8x을(를) 뺍니다.

$$-5y=-8x-18$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

-\frac{1}{5}에 -8x-18을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

다른 수식 5y+2x=58에서 \frac{8x+18}{5}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

5에 \frac{8x+18}{5}을(를) 곱합니다.

$$8x+18+2x=58$$

8x을(를) 2x에 추가합니다.

$$10x+18=58$$

수식의 양쪽에서 18을(를) 뺍니다.

$$10x=40$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}에서 x을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

\frac{8}{5}에 4을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{32+18}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{18}{5}을(를) \frac{32}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=10,x=4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=10,x=4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

-5y 및 5y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱합니다.

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

단순화합니다.

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -25y+40x=-90에서 -25y-10x=-290을(를) 뺍니다.

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

-25y을(를) 25y에 추가합니다. -25y 및 25y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$40x+10x=-90+290$$

40x을(를) 10x에 추가합니다.

$$50x=-90+290$$

-90을(를) 290에 추가합니다.

$$50x=200$$

양쪽을 50(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

5y+2x=58에서 x을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5y+2\times 4=58$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$5y+8=58$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$5y=50$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=10,x=4$$