다음을 풀어보세요: {c}{1/2a+b=-2}{a-2b=8}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } a + b = - 2 } \\ { a - 2 b = 8 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=2$$

$$b=-3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$\frac{1}{2}a+b=-2$$

수식의 양쪽에서 b을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{2}a=-b-2$$

양쪽에 2을(를) 곱합니다.

$$a=2\left(-b-2\right)$$

2에 -b-2을(를) 곱합니다.

$$a=-2b-4$$

다른 수식 a-2b=8에서 -2b-4을(를) a(으)로 치환합니다.

$$-2b-4-2b=8$$

-2b을(를) -2b에 추가합니다.

$$-4b-4=8$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$-4b=12$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$b=-3$$

a=-2b-4에서 b을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-2\left(-3\right)-4$$

-2에 -3을(를) 곱합니다.

$$a=6-4$$

-4을(를) 6에 추가합니다.

$$a=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=2,b=-3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=2,b=-3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

\frac{a}{2} 및 a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\left(-2\right)b=\frac{1}{2}\times 8$$

단순화합니다.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a-b=4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{1}{2}a+b=-2에서 \frac{1}{2}a-b=4을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+b+b=-2-4$$

\frac{a}{2}을(를) -\frac{a}{2}에 추가합니다. \frac{a}{2} 및 -\frac{a}{2}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$b+b=-2-4$$

b을(를) b에 추가합니다.

$$2b=-2-4$$

-2을(를) -4에 추가합니다.

$$2b=-6$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$b=-3$$

a-2b=8에서 b을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a-2\left(-3\right)=8$$

-2에 -3을(를) 곱합니다.

$$a+6=8$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$a=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=2,b=-3$$