다음을 풀어보세요: {lll}{i}&{j}&{k}{3}&{i}&{2}{1}&{1}&{3}

$$\left| \begin{array} { l l l } { i } & { j } & { k } \\ { 3 } & { i } & { 2 } \\ { 1 } & { 1 } & { 3 } \end{array} \right|$$

계산

$$-3-2i+\left(3-i\right)k-7j$$

사루스 법칙을 사용한 단계

대각선법을 사용하여 행렬의 행렬식을 찾습니다.

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\3&i&2\\1&1&3\end{matrix}\right))$$

처음 두 열을 네 번째 및 다섯 번째 열로 반복하여 원래 행렬을 전개합니다.

$$\left(\begin{matrix}i&j&k&i&j\\3&i&2&3&i\\1&1&3&1&1\end{matrix}\right)$$

왼쪽 위의 항목부터 시작하여 대각선을 따라 아래로 곱하고, 결과로 나오는 곱을 더합니다.

$$i\times \left(3i\right)+j\times 2+k\times 3=2j+3k-3$$

왼쪽 아래 항목부터 시작하여 대각선을 따라 위로 곱하고 결과로 나온 곱을 더합니다.

$$ik+2i+3\times 3j=9j+ik+2i$$

하향 대각선 곱의 합에서 상향 대각선 곱의 합을 뺍니다.

$$2j+3k-3-\left(9j+ik+2i\right)$$

-3+2j+3k에서 ik+2i+9j을(를) 뺍니다.

$$-3-2i+\left(3-i\right)k-7j$$

소에 의한 전개를 사용한 단계

소에 의한 전개법(여인수에 의한 전개라고도 함)을 사용하여 행렬의 행렬식을 찾습니다.

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\3&i&2\\1&1&3\end{matrix}\right))$$

소로 확장하려면 첫 번째 행의 각 요소를 해당 소로 곱합니다. 해당 소는 해당 요소가 포함된 행과 열을 삭제한 다음 요소의 위치 부호로 곱하여 만들어진 2\times 2 행렬의 행렬식입니다.

$$idet(\left(\begin{matrix}i&2\\1&3\end{matrix}\right))-jdet(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))+kdet(\left(\begin{matrix}3&i\\1&1\end{matrix}\right))$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 결정자는 ad-bc입니다.

$$i\left(3i-2\right)-j\left(3\times 3-2\right)+k\left(3-i\right)$$

단순화합니다.

$$i\left(-2+3i\right)-j\times 7+k\left(3-i\right)$$

최종 결과를 찾기 위한 항을 추가합니다.

$$-3-2i+\left(3-i\right)k-7j$$