다음을 풀어보세요: {l}{4x-y=11}{-2x+3y=-3}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x - y = 11 }\\{ - 2 x + 3 y = - 3 }\end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x-y=11$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$4x=y+11$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+11\right)$$

\frac{1}{4}에 y+11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}$$

다른 수식 -2x+3y=-3에서 \frac{11+y}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}\right)+3y=-3$$

-2에 \frac{11+y}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{11}{2}+3y=-3$$

-\frac{y}{2}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}=-3$$

수식의 양쪽에 \frac{11}{2}을(를) 더합니다.

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=1$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1+11}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{11}{4}을(를) \frac{1}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 11+\frac{1}{10}\left(-3\right)\\\frac{1}{5}\times 11+\frac{2}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

4x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$-2\times 4x-2\left(-1\right)y=-2\times 11,4\left(-2\right)x+4\times 3y=4\left(-3\right)$$

단순화합니다.

$$-8x+2y=-22,-8x+12y=-12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -8x+2y=-22에서 -8x+12y=-12을(를) 뺍니다.

$$-8x+8x+2y-12y=-22+12$$

-8x을(를) 8x에 추가합니다. -8x 및 8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2y-12y=-22+12$$

2y을(를) -12y에 추가합니다.

$$-10y=-22+12$$

-22을(를) 12에 추가합니다.

$$-10y=-10$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

-2x+3y=-3에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x+3=-3$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$-2x=-6$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=1$$