다음을 풀어보세요: {r}{x+y=16}{y=7x}

$$\left\{ \begin{array} { r } { x + y = 16 } \\ { y = 7 x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=14$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 7x을(를) 뺍니다.

$$y-7x=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=16,-7x+y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=16$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+16$$

다른 수식 -7x+y=0에서 -y+16을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-7\left(-y+16\right)+y=0$$

-7에 -y+16을(를) 곱합니다.

$$7y-112+y=0$$

7y을(를) y에 추가합니다.

$$8y-112=0$$

수식의 양쪽에 112을(를) 더합니다.

$$8y=112$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=14$$

x=-y+16에서 y을(를) 14(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-14+16$$

16을(를) -14에 추가합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=14$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 7x을(를) 뺍니다.

$$y-7x=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=16,-7x+y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-7\right)}&-\frac{1}{1-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{1-\left(-7\right)}&\frac{1}{1-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 16\\\frac{7}{8}\times 16\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=14$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 7x을(를) 뺍니다.

$$y-7x=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=16,-7x+y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x+y=16에서 -7x+y=0을(를) 뺍니다.

$$x+7x+y-y=16$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$x+7x=16$$

x을(를) 7x에 추가합니다.

$$8x=16$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

-7x+y=0에서 x을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-7\times 2+y=0$$

-7에 2을(를) 곱합니다.

$$-14+y=0$$

수식의 양쪽에 14을(를) 더합니다.

$$y=14$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=14$$