다음을 풀어보세요: {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

u, v에 대한 해

$$u=25$$

$$v=3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 u을(를) 고립시켜 u에 대한 해를 찾습니다.

$$u-30v=-65$$

수식의 양쪽에 30v을(를) 더합니다.

$$u=30v-65$$

다른 수식 -3u+80v=165에서 30v-65을(를) u(으)로 치환합니다.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

-3에 30v-65을(를) 곱합니다.

$$-90v+195+80v=165$$

-90v을(를) 80v에 추가합니다.

$$-10v+195=165$$

수식의 양쪽에서 195을(를) 뺍니다.

$$-10v=-30$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$v=3$$

u=30v-65에서 v을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 u에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$u=30\times 3-65$$

30에 3을(를) 곱합니다.

$$u=90-65$$

-65을(를) 90에 추가합니다.

$$u=25$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$u=25,v=3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 u 및 v을(를) 추출합니다.

$$u=25,v=3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

u 및 -3u을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

단순화합니다.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -3u+90v=195에서 -3u+80v=165을(를) 뺍니다.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

-3u을(를) 3u에 추가합니다. -3u 및 3u이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$90v-80v=195-165$$

90v을(를) -80v에 추가합니다.

$$10v=195-165$$

195을(를) -165에 추가합니다.

$$10v=30$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$v=3$$

-3u+80v=165에서 v을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 u에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3u+80\times 3=165$$

80에 3을(를) 곱합니다.

$$-3u+240=165$$

수식의 양쪽에서 240을(를) 뺍니다.

$$-3u=-75$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$u=25$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$u=25,v=3$$