다음을 풀어보세요: {r}{7x+3y=-15}{12y-5x=39}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 7 x + 3 y = - 15 } \\ { 12 y - 5 x = 39 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-3$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$7x+3y=-15$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$7x=-3y-15$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y-15\right)$$

\frac{1}{7}에 -3y-15을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}$$

다른 수식 -5x+12y=39에서 \frac{-3y-15}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-5\left(-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}\right)+12y=39$$

-5에 \frac{-3y-15}{7}을(를) 곱합니다.

$$\frac{15}{7}y+\frac{75}{7}+12y=39$$

\frac{15y}{7}을(를) 12y에 추가합니다.

$$\frac{99}{7}y+\frac{75}{7}=39$$

수식의 양쪽에서 \frac{75}{7}을(를) 뺍니다.

$$\frac{99}{7}y=\frac{198}{7}$$

수식의 양쪽을 \frac{99}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=2$$

x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{7}\times 2-\frac{15}{7}$$

-\frac{3}{7}에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6-15}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{15}{7}을(를) -\frac{6}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7\times 12-3\left(-5\right)}&-\frac{3}{7\times 12-3\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{7\times 12-3\left(-5\right)}&\frac{7}{7\times 12-3\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}&-\frac{1}{33}\\\frac{5}{99}&\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}\left(-15\right)-\frac{1}{33}\times 39\\\frac{5}{99}\left(-15\right)+\frac{7}{99}\times 39\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-3,y=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

7x 및 -5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱합니다.

$$-5\times 7x-5\times 3y=-5\left(-15\right),7\left(-5\right)x+7\times 12y=7\times 39$$

단순화합니다.

$$-35x-15y=75,-35x+84y=273$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -35x-15y=75에서 -35x+84y=273을(를) 뺍니다.

$$-35x+35x-15y-84y=75-273$$

-35x을(를) 35x에 추가합니다. -35x 및 35x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-15y-84y=75-273$$

-15y을(를) -84y에 추가합니다.

$$-99y=75-273$$

75을(를) -273에 추가합니다.

$$-99y=-198$$

양쪽을 -99(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

-5x+12y=39에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-5x+12\times 2=39$$

12에 2을(를) 곱합니다.

$$-5x+24=39$$

수식의 양쪽에서 24을(를) 뺍니다.

$$-5x=15$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=2$$