다음을 풀어보세요: {r}{6x-5y=14}{-3x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x - 5 y = 14 } \\ { - 3 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$6x-5y=14$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$6x=5y+14$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+14\right)$$

\frac{1}{6}에 5y+14을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}$$

다른 수식 -3x+5y=-2에서 \frac{5y}{6}+\frac{7}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-3\left(\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}\right)+5y=-2$$

-3에 \frac{5y}{6}+\frac{7}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{5}{2}y-7+5y=-2$$

-\frac{5y}{2}을(를) 5y에 추가합니다.

$$\frac{5}{2}y-7=-2$$

수식의 양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$\frac{5}{2}y=5$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=2$$

x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5}{6}\times 2+\frac{7}{3}$$

\frac{5}{6}에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5+7}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{3}을(를) \frac{5}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{6}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 14+\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

6x 및 -3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱합니다.

$$-3\times 6x-3\left(-5\right)y=-3\times 14,6\left(-3\right)x+6\times 5y=6\left(-2\right)$$

단순화합니다.

$$-18x+15y=-42,-18x+30y=-12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -18x+15y=-42에서 -18x+30y=-12을(를) 뺍니다.

$$-18x+18x+15y-30y=-42+12$$

-18x을(를) 18x에 추가합니다. -18x 및 18x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$15y-30y=-42+12$$

15y을(를) -30y에 추가합니다.

$$-15y=-42+12$$

-42을(를) 12에 추가합니다.

$$-15y=-30$$

양쪽을 -15(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

-3x+5y=-2에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3x+5\times 2=-2$$

5에 2을(를) 곱합니다.

$$-3x+10=-2$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$-3x=-12$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=2$$