다음을 풀어보세요: {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

p, q에 대한 해

$$p=2$$

$$q=3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 p을(를) 고립시켜 p에 대한 해를 찾습니다.

$$5p-q=7$$

수식의 양쪽에 q을(를) 더합니다.

$$5p=q+7$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

\frac{1}{5}에 q+7을(를) 곱합니다.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

다른 수식 -2p+3q=5에서 \frac{7+q}{5}을(를) p(으)로 치환합니다.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

-2에 \frac{7+q}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

-\frac{2q}{5}을(를) 3q에 추가합니다.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

수식의 양쪽에 \frac{14}{5}을(를) 더합니다.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{13}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$q=3$$

p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}에서 q을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 p에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

\frac{1}{5}에 3을(를) 곱합니다.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{5}을(를) \frac{3}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$p=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$p=2,q=3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 p 및 q을(를) 추출합니다.

$$p=2,q=3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

5p 및 -2p을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

단순화합니다.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -10p+2q=-14에서 -10p+15q=25을(를) 뺍니다.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

-10p을(를) 10p에 추가합니다. -10p 및 10p이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2q-15q=-14-25$$

2q을(를) -15q에 추가합니다.

$$-13q=-14-25$$

-14을(를) -25에 추가합니다.

$$-13q=-39$$

양쪽을 -13(으)로 나눕니다.

$$q=3$$

-2p+3q=5에서 q을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 p에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2p+3\times 3=5$$

3에 3을(를) 곱합니다.

$$-2p+9=5$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$-2p=-4$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$p=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$p=2,q=3$$