다음을 풀어보세요: {r}{4x-2y=6}{-2x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 4 x - 2 y = 6 } \\ { - 2 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=7$$

$$y=11$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x-2y=6$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$4x=2y+6$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

\frac{1}{4}에 6+2y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

다른 수식 -2x+2y=8에서 \frac{3+y}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+2y=8$$

-2에 \frac{3+y}{2}을(를) 곱합니다.

$$-y-3+2y=8$$

-y을(를) 2y에 추가합니다.

$$y-3=8$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$y=11$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}에서 y을(를) 11(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{2}\times 11+\frac{3}{2}$$

\frac{1}{2}에 11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{11+3}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{2}을(를) \frac{11}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=11$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=7,y=11$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

4x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 6,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4\times 8$$

단순화합니다.

$$-8x+4y=-12,-8x+8y=32$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -8x+4y=-12에서 -8x+8y=32을(를) 뺍니다.

$$-8x+8x+4y-8y=-12-32$$

-8x을(를) 8x에 추가합니다. -8x 및 8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4y-8y=-12-32$$

4y을(를) -8y에 추가합니다.

$$-4y=-12-32$$

-12을(를) -32에 추가합니다.

$$-4y=-44$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=11$$

-2x+2y=8에서 y을(를) 11(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x+2\times 11=8$$

2에 11을(를) 곱합니다.

$$-2x+22=8$$

수식의 양쪽에서 22을(를) 뺍니다.

$$-2x=-14$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=11$$